On

Постоянные и переменные величины

Posted by admin


Постоянные и переменные величины.

Под величиной будем понимать все то, что выражает свойства предмета, явления или процесса. Площадь земельного участка, масса животного, себестоимость продукции, процент жира в молоке и т. д. – все это примеры величин. Каждая из величин может быть измерена с помощью прибора или вычислена, в результате чего получают число, называемое числовым значением величины.

Величины выражаются в определенных единицах. Такие величины называются размерными. Каждой величине свойственна своя единица. Единицы величин образуют систему. Общепринятой является Международная система (СИ). Ее основными единицами являются: метр (м) – единица длины; килограмм (кг) – единица массы; секунда (с) – единица времени; кельвин (к) – единица температуры; кандела (кд) – единица силы света; моль – единица количества вещества.

Величины могут быть безразмерными. Например, доля опытов, в которых наблюдаемое явление произошло.

Когда мы наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области физики, экономики, агрономии или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость постоянна. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной.

Обозначения: x, y, z, t,…-переменные величины; a, b, c, d,… — постоянные величины.

Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой переменной.

Области изменения переменной величины:

(a, b) = {x: a < x < b} – промежуток или интервал;

[a, b] = {x: a ≤ x ≤ b} – отрезок или замкнутый интервал;

(a, b] = {x: a < x ≤ b},

[a, b) = {x: a ≤ x < b} – полуоткрытые интервалы;

(-∞, b] = {x: x ≤ b},

(-∞, b) = {x: x < b},

[a, +∞) = {x: x ≥ a},

(a, +∞) = {x: x > a},

(-∞, +∞) = {x: -∞ < x < +∞} – бесконечные интервалы.

Произвольный интервал (a, b), содержащий внутри себя точку , называется окрестностью точки : a < < b.

Если точка середина окрестности, то она называется центром окрестности, величина называется радиусом окрестности.

Переменная величина называется возрастающей, если каждое последующее ее значение больше предыдущего ее значения. Переменная величина называется убывающей, если каждое ее последующее значение меньше предыдущего.

Понятие функции. Область её определения. Способы задания.

К понятию функции приводит изучение разнообразных явлений в окружающем нас мире. Например, каждому значению длины грани куба соответствует его объём; каждому моменту времени в данной местности соответствует определённая температура воздуха; каждому значению возраста животного соответствует его масса; каждому показателю рентабельности соответствует определённая величина прибыли.

Во всех этих примерах общим является то, что каждому числовому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.

Правило f , сопоставляющее каждому числу единственное число , называется числовой функцией, заданной на множестве X и принимающей значения в множестве Y.

Если , то пишут y = f(x).

Функцией называют также уравнение y = f(x), т.е. формулу где у выражено через х с помощью правила f.

В уравнении y = f(x) «х» называют независимой переменной или аргументом, а узависимой переменной или функцией от «х». Зависимость х и у называется функциональной.

Множество всех значений независимой переменой, для которых определена функция, называется областью определения этой функции, обозначается D(f).

Обычно D(f) представляет собой интервал – открытый, полуоткрытый, бесконечный, или их сумму.

Пример. . Найти D(f).

Решение. Функция не определена при . D(f) = (-∞, -1) (-1, +∞).

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например, 1) , 2) , 3)

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.

Графический способ: задаётся график функции.

Совокупность точек плоскости xOy, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Преимущество графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задаётся таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.

Например, таблицы тригонометрических функций, логарифмов, таблицы железнодорожных тарифов.

Табличный способ удобен для использования, он широко применяется при регистрации опытов, лабораторных анализов, при подсчете объема грубых кормов в скирдах и т. д. К недостатку способа относится то, что представление о функциональной зависимости здесь не является полным, так как невозможно поместить в таблице все значения аргумента.

Существует еще один способ задания функции, возникший с развитием и внедрением в производство ЭВМ. Этот способ состоит в указании программы для вычисления значения функций на ЭВМ.

Сложная функция. Пусть даны две функции и , при этом множество значений второй функции входит в область определения первой. Тогда любому в силу правила φ соответствует определенное число и, а числу и функция сопоставляет число у. В этом случае правила f и φ сопоставляют каждому х одно значение у, т.е.

. Здесь имеет место функция от функции или сложная функция. Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции. Например, функция сложная функция, ее можно представить в виде цепочки простых: , . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Обратная функция.Пустьy = f(x) есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором f(x)=у. Тогда полученная функция , определенная на множестве Y с областью значений Х, называется обратной. Обратную функцию обозначают также в виде . Например, для функции обратной будет функция или .

Для любой строго монотонной функции существует обратная функция. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Читайте также:

величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения либо, соответственно, сохраняют одно и то же значение. Например, при изучении падения тела расстояние последнего от земли и скорость падения ≈ переменные величины, ускорение же (если пренебречь сопротивлением воздуха) ≈ величина постоянная. Элементарная математика рассматривала все изучаемые ею величины как постоянные. Понятие переменной величины возникло в математике в 17 в. под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения ≈ процессов, а не только состояний. Это понятие не укладывалось в формы, выработанные математикой древности и средних веков, и требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Р. Декарта . В буквах декартовой алгебры, могущих принимать произвольные числовые значения, и нашли своё символическое выражение переменные величины. «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление…» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т.

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

20, с. 573). В этот период и вплоть до середины 19 в. преобладают механические воззрения на переменные величины. Наиболее ярко они были выражены И. Ньютоном , называвшим переменные величины «флюэнтами», то есть текущими, и рассматривавшим их «… не как состоящие из крайне малых частей, но как описываемые непрерывным движением» («Математические работы», М., 1937, с. 167). Эти воззрения оказались весьма плодотворными и, в частности, позволили Ньютону совершенно по-новому подойти к нахождению площадей криволинейных фигур. Ньютон впервые стал рассматривать площадь криволинейной трапеции (ABNM на рис.) не как постоянную величину (вычисляемую суммированием составляющих её бесконечно малых частей), а как переменную величину, производимую движением ординаты кривой (NM); установив, что скорость изменения рассматриваемой площади пропорциональна ординате NM, он тем самым свёл задачу вычисления площадей к задаче определения переменной величины по известной скорости её изменения. Законность внесения в математику понятия скорости была обоснована в начале 19 в. теорией пределов , давшей точное определение скорости как производной . Однако в течение 19 в. постепенно выясняется ограниченность описанного выше воззрения на переменные величины. Математический анализ всё больше становится общей теорией функций, развитие которой невозможно без точного анализа сущности и объёма её основных понятий. При этом оказывается, что уже понятие непрерывной функции в действительности значительно сложнее, чем приведшие к нему наглядные представления. Открываются непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке; понимать такую функцию как результат движения означало бы допускать движение, не имеющее скорости ни в какой момент. Всё большее значение приобретает изучение разрывных функций, а также функций, заданных на множествах значительно более сложной структуры, чем интервал или объединение нескольких интервалов. Ньютоновское толкование переменной величины становится недостаточным, а во многих случаях и бесполезным.

С другой стороны, математика начинает рассматривать как переменные не только величины, но и всё более разнообразные и широкие классы других своих объектов. На этой почве во 2-й половине 19 в. и в 20 в. развиваются теория множеств, топология и математическая логика. О том, насколько расширилось в 20 в. понятие переменной величины, свидетельствует тот факт, что в математической логике рассматриваются не только переменные, пробегающие произвольные множества предметов, но и переменные, значениями которых служат высказывания, предикаты (отношения между предметами) и т.д. (см. Переменная ).

Постоянные и переменные величины

Под величиной будем понимать все то, что выражает свойства предмета, явления или процесса. Площадь земельного участка, масса животного, себестоимость продукции, процент жира в молоке и т. д. – все это примеры величин. Каждая из величин может быть измерена с помощью прибора или вычислена, в результате чего получают число, называемое числовым значением величины. Величины выражаются в определенных единицах. Такие величины называются размерными.

Переменные и постоянные величины

Каждой величине свойственна своя единица. Единицы величин образуют систему. Общепринятой является Международная система (СИ). Ее основными единицами являются: метр (м) – единица длины; килограмм (кг) – единица массы; секунда (с) – единица времени; кельвин (к) – единица температуры; кандела (кд) – единица силы света; моль – единица количества вещества. Величины могут быть безразмерными. Например, доля опытов, в которых наблюдаемое явление произошло.

Когда мы наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области физики, экономики, агрономии или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость постоянна. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной.

Обозначения: x, y, z, t,…— переменные величины; a, b, c, d,… — постоянные величины.

Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областьюизмененияэтой переменной.

Области изменения переменной величины:

(a, b) = {x: a < x < b} – промежуток или интервал;

[a, b] = {x: a ≤ x ≤ b} – отрезок или замкнутый интервал;

(a, b] = {x: a < x ≤ b},

[a, b) = {x: a ≤ x < b} – полуоткрытые интервалы;

(-∞, b] = {x: x ≤ b},

(-∞, b) = {x: x < b},

[a, +∞) = {x: x ≥ a},

(a, +∞) = {x: x > a},

(-∞, +∞) = {x: -∞ < x < +∞} – бесконечные интервалы.

Произвольный интервал (a, b), содержащий внутри себя точку , называется окрестностью точки : a < < b.

Если точка — середина окрестности, то она называется центром окрестности, величина называется радиусом окрестности.

Переменная величина называется возрастающей, если каждое последующее ее значение больше предыдущего ее значения. Переменная величина называется убывающей, если каждое ее последующее значение меньше предыдущего.

Предыдущая78910111213141516171819202122Следующая

Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 1074;

ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Постоянные и переменные величины

Под величиной будем понимать все то, что выражает свойства предмета, явления или процесса. Площадь земельного участка, масса животного, себестоимость продукции, процент жира в молоке и т. д. – все это примеры величин. Каждая из величин может быть измерена с помощью прибора или вычислена, в результате чего получают число, называемое числовым значением величины. Величины выражаются в определенных единицах. Такие величины называются размерными. Каждой величине свойственна своя единица. Единицы величин образуют систему.

Постоянные и переменные величины.

Общепринятой является Международная система (СИ). Ее основными единицами являются: метр (м) – единица длины; килограмм (кг) – единица массы; секунда (с) – единица времени; кельвин (к) – единица температуры; кандела (кд) – единица силы света; моль – единица количества вещества. Величины могут быть безразмерными. Например, доля опытов, в которых наблюдаемое явление произошло.

Когда мы наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области физики, экономики, агрономии или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость постоянна. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной.

Обозначения: x, y, z, t,…— переменные величины; a, b, c, d,… — постоянные величины.

Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областьюизмененияэтой переменной.

Области изменения переменной величины:

(a, b) = {x: a < x < b} – промежуток или интервал;

[a, b] = {x: a ≤ x ≤ b} – отрезок или замкнутый интервал;

(a, b] = {x: a < x ≤ b},

[a, b) = {x: a ≤ x < b} – полуоткрытые интервалы;

(-∞, b] = {x: x ≤ b},

(-∞, b) = {x: x < b},

[a, +∞) = {x: x ≥ a},

(a, +∞) = {x: x > a},

(-∞, +∞) = {x: -∞ < x < +∞} – бесконечные интервалы.

Произвольный интервал (a, b), содержащий внутри себя точку , называется окрестностью точки : a < < b.

Если точка — середина окрестности, то она называется центром окрестности, величина называется радиусом окрестности.

Переменная величина называется возрастающей, если каждое последующее ее значение больше предыдущего ее значения. Переменная величина называется убывающей, если каждое ее последующее значение меньше предыдущего.

Предыдущая78910111213141516171819202122Следующая

Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 1075;

ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

ВЕЛИЧИНА, одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

В «Началах» Евклида были отчётливо сформулированы свойства величины, называемые теперь (для отличия от дальнейших обобщений) положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие величины является непосредственным обобщением конкретных понятий, в частности длины, площади, объёма, массы и тому подобное. Каждый конкретный род величины связан с определённым способом сравнения соответствующих объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объёму требуются более сложные приёмы. В пределах системы всех однородных величин (т. е. в пределах всех длин, или всех площадей, или всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две величины а и b одного и того же рода или совпадают (а = b), или первая меньше второй (а<b), или вторая меньше первой (b<а).

Постоянные и переменные величины

Для каждого рода величин (длин, площадей, объёмов) определяется операция сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных положительных скалярных величин отношение сравнения (а<b) и операция сложения (а + b = с) обладают следующими свойствами:

Реклама

1) для любых а и b имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или а = b, или а<b, или b<а;

2) если а < b и b < с, то а < с (транзитивность отношения);

3) для любых а и b существует однозначно определённая величина с = а + b;

4) для любых а и b справедливо равенство а + b = b + а (коммутативность сложения);

5) для любых а, b, с справедливо равенство а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативность сложения);

6) для любых а и b справедливо соотношение а + b>а (монотонность сложения);

7) если а>b, то существует одна и только одна величина с, для которой b + с = а (возможность вычитания);

8) для любых а и целого положительного числа n существует такая величина b, что nb = а (возможность деления);

9) для любых а и b существует целое положительное число n такое, что а <nb. Это свойство называется аксиомой Евдокса или аксиомой Архимеда.

Свойство 9) вместе с более элементарными свойствами 1) — 8) служит основой теории измерения величины, развитой древнегреческими математиками.

В частности, если взять какую-либо длину l за единичную, то система Q всех длин вида lp/q, где р и q — целые положительные числа, обладает свойствами 1) — 9). Существование несоизмеримых отрезков (открытие которых приписывается Пифагору) показывает, что система Q ещё не охватывает системы R всех возможных значений длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию величин, к требованиям 1) — 9) надо присоединить ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:

10) если последовательности величин а1, а2, b1, b2, … такие, что а1<а2< …<b2<b1 и bn — аn < с для любой величины с при достаточно большом номере n, то существует единственная величина х, которая больше всех аn и меньше всех bn.

Свойства 1) — 10) определяют современное понятие системы положительных скалярных величин. Если в такой системе выбрать какоую-либо величину l за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде а = αl, где α — положительное действительное число.

Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, которые могут иметь два противоположных направления, и тому подобных величин приводит к обобщению понятия скалярной величины, являющегося основным в математике, а также в механике и физике. Система скалярных величин в этом понимании включает в себя, кроме положительных величин, нуль и отрицательные величины. Выбирая в такой системе какую-либо положительную величину l за единицу измерения, выражают все остальные величины системы в виде а = αl, где α — действительное число (положительное, отрицательное или равное нулю).

В более общем смысле величинами называют векторы, тензоры и другие нескалярные величины. Такие величины можно складывать, но отношение а < b для них теряет смысл.

В некоторых математических исследованиях используются так называемые неархимедовы величины, которые имеют с обычными скалярными величинами то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9) не выполняется.

Система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1) — 10), а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных величин, поэтому вполне законно сами действительные числа назвать величинами.

Смотри также Переменные и постоянные величины.

Лит.: Лебег А. Об измерении величин. 2-е изд. М., 1960.

А. Н. Колмогоров.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *