On

Основные правила дифференцирования

Posted by admin

Производная, нахождение производной

Правила дифференцирования, доказательство и примеры.

При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. В этой статье мы рассмотрим основные правила дифференцирования, которые будем постоянно использовать при нахождении производных. Все эти правила докажем на основе определения производной функции и обязательно остановимся на подробном решении примеров, чтобы понять принцип их применения.

При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x) дифференцируемыми на некотором промежутке X.

То есть, для любого справедливо , где — приращения соответствующих функций.

В другой записи .

К основным правилам дифференцирования относят:

Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Докажем формулу . По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

На этом доказательство первого правила дифференцирования завершено.

Найти производную функции .

Из таблицы производных для тригонометрических функций видим . Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак производной:

Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.

Выполнить дифференцирование функции .

По свойствам логарифмической функции можно перейти к записи . Осталось вспомнить производную логарифмической функции и вынести постоянный множитель:

Найти производную функции .

Преобразуем исходную функцию .

Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:

К началу страницы

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных .

Найти производную функции .

Упростим вид исходной функции .

Используем правило производной суммы (разности):

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

К началу страницы

Производная произведения функций.

Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .

Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).

Что и требовалось доказать.

Продифференцировать функцию .

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Найти производную функции .

В этом примере . Следовательно,

Давайте рассмотрим случай нахождения производной произведения трех функций. В принципе, по этой же системе можно дифференцировать произведение и четырех, и пяти, и двадцати пяти функций.

Выполнить дифференцирование функции .

Будем исходить из правила дифференцирования произведения двух функций. В качестве функции f(x) будем считать произведение (1+x)sinx, а в качестве g(x) возьмем lnx:

Для нахождения вновь применяем правило производной произведения:

Используем правило производной суммы и таблицу производных:

Подставляем полученный результат:

Как видите, порой приходится применять несколько правил дифференцирования в одном примере. Сложного в этом ничего нет, главное действовать последовательно и не мешать все в кучу.

Найти производную функции .

Функция представляет собой разность выражений и , поэтому

В первом выражении выносим двойку за знак производной, а ко второму выражению применяем правило дифференцирования произведения:

К началу страницы

Производная частного двух функций (производная дроби).

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.

По определению производной

Выполнить дифференцирование функции .

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.

Найти производную функции , где a – положительное действительное число.

А теперь по порядку.

Первое слагаемое .

Второе слагаемое

Третье слагаемое

Собираем все вместе:

К началу страницы

Наверное, Вы заметили, что в разобранных примерах фигурировали только основные элементарные функции, связанные знаками алгебраических действий. Производные таких функций легко могут быть найдены с использованием правил дифференцирования. Однако, намного чаще нам приходится иметь дело с функциями более сложного вида.

Когда мы разберемся с производной сложной функции, то Вы сможете спокойно переходить к дифференцированию любых функций одной переменной, заданных в явном виде.

Некогда разбираться?
Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

Правила дифференцирования

В основные правила дифференцирования функций входят вынесение констант за знак производной, сумма и разность, умножение и деление функций:

  1. Константу можно вынести за знак производной:
  2. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:
  3. Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле:
  4. Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле:
Пример 1
С помощью основных правил дифференцирования найти производную:
Решение

Берем производную:

Так как присутствует константа, то по первому правилу дифференцирования можно вынести её за знак производной, а затем по таблице :

Ответ
Пример 2
Найти производную суммы функций
Решение

По второму правилу дифференцирования производная суммы функций равна сумме производных:

Первое слагаемое дифференцируем по правилу степенной функции :

Производная косинуса равна:

Объединяем в сумму:

Ответ
Пример 3
Найти производную произведения функций:
Решение

По третьему правилу дифференцирования произведения двух функций расписываем:

Ответ
Пример 4
Найти производную дроби
Решение

Используя четвертое правило дифференцирования частного двух функций получаем:

Ответ

Используя основные правила дифференцирования можно находить большинство производных функций.

2. Дифференцирование произведения.

Теорема 3. Если функции , дифференцируемы в точке , то функция также дифференцируема в точке причем

Короче: произведение двух дифференцируемых функций и и дифференцируемо, причем

Доказательство. Дадим приращение Тогда функции и и получат приращения, соответственно А и и а для функции у будем иметь:

Итак,

Разделим обе части полученного равенства на

Пусть стремится к 0. Так как по условию — дифференцируемые функции, то существуют причем первый предел равен а второй равен

Под в равенстве (3) понимаются значения функций в фиксированной точке поэтому и и — постоянные множители, и их можно вынести за знак предела. Кроме того, воспользовавшись непрерывностью дифференцируемой функции (теорема 2 § 2), приходим к выводу, что

Таким образом,

Значит, предел правой части равенства (3) при существует и равен . В таком случае существует и причем этот предел равен Значит, в точке дифференцируема, причем Теорема доказана.

Выведем формулу для вычисления дифференциала произведения. Имеем:

Тем самым получено следующее правило.

Рис. 19

Правило 4. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Дифференциал произведения вычисляется по формуле:

На рисунке 19 представлена геометрическая иллюстрация правила вычисления дифференциала произведения. Рассмотрим прямоугольник, длины сторон которого равны и и у, и найдем дифференциал площади Он равен площади заштрихованной фигуры, которая представляет собой объединение двух прямоугольников, причем длины сторон одного равны и а другого —

Пример 4.

Конев В.В. Дифференцирование функций

Найдем производную функции в точке и дифференциал функции в этой точке при

Решение. Имеем:

Тогда

а

Правило 4 распространяется на произведение любого конечного числа дифференцируемых функций. Пусть функции дифференцируемы в точке Найдем производную функции

Имеем:

Итак,

Методом математической индукции можно доказать, что

Заметим, что правило 2, непосредственно следует из правила 4. В самом деле,

Дифференциальное исчисление функции

Одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение.Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

. (5.1)

у

f(x)

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

Рис. 5.1.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b).

1.3. Основные правила дифференцирования

Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a — угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой: (5.2)

Уравнение нормали к кривой: . (5.3)

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t — время, а f(t)— закон движения – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции — скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Функция у= f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (а, b), называется дифференцируемой в этом интервале. Соответственно операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Рассмотрим основные свойства дифференцируемых функций.

1. Теорема 1 (необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

2. Теорема 2. Если функция у = f(x) на интервале (а, b) монотонна и имеет в произвольной точке х этого интервала производную не равную нулю, то обратная ей функция х = φ (у) также имеет производную в соответствующей точке и равна . (5.4)

Следовательно, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Основные правила дифференцирования функций

На практике нахождение производной функции часто связано с определёнными трудностями, поэтому удобно пользоваться в дальнейшем следующими правилами дифференцирования.

Пусть функции u = u (x) и v = v(x) – дифференцируемы в точке х . а C – постоянная величина (C = const). Имеют место следующие правила:

1) ;

2) ;

3) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ ;

4) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v ;

5) , если v ¹ 0 .

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций:

Производная сложной функции.

Теорема.Пусть функции y = f(u) и u = g(x) дифференцируемы в соответствующей точке, причем область значений функции g(x) входит в область определения функции f.

Тогда . (5.5)

Доказательство. ,

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда Теорема доказана.

Примеры. Найти производную

1)

2)

Логарифмическое дифференцирование.

На практике в ряде случаев для нахождения производной функции удобно вначале прологарифмировать эту функция, а затем результат продифференцировать. Такая двойная процедура называется логарифмическим дифференцированием. Метод логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. . Учитывая полученный результат, можно записать . Здесь отношение называется логарифмической производной функции f(x).

В результате . (5.6)

Примеры. 1) Производная степенно-показательной функции

. (5.7)

2) ,

3) ,

.

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *