On

Критерий гурвица

Posted by admin

Критерий Гурвица — это числовая характеристика стратегий в играх с природой.

Значение критерия Гурвица — это наибольшее средневзвешанное значение выигрыша, причём доля пессимизма задаётся с помощью коэффициента.

[править]Обозначения

m — число стратегий;

n — число состояний природы;

aij — выигрыш при i-ой стратегии при j-ом состоянии природы;

λ — доля пессимизма, 0≤λ≤1;

1-λ — доля оптимизма;

G(X*) — критерий Гурвица.

[править]Формула:

[math]G(X^*)=\max_{i \in N_m}\left\{\lambda\min_{j \in N_n}\{a_{ij}\}+(1-\lambda)\max_{j \in N_n}\{a_{ij}\}\right\}[/math]

[править]Другие критерии:

[править]Литература

  • Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование — М. «Высшая школа», 1980, стр.291.

Критерий Гурвица // ProjectAndGrac [1:43]

В условиях задачи из п. 1 (табл.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

2)рассмотрим принятие решения по критерию Гурвица для ЛПР, настроенного оптимистически (λ = 0.8), и ЛПР-пессимиста (λ = 0.3). Порядок действий таков:

1. Найдем максимальные xi max и минимальные xi min исходы для каждого проекта:

x1 max = max(45, 25, 50) = 50 x1 min = min(45, 25, 50) = 25

x2 max = max(20, 60, 25) = 60 x2 min = min(20, 60, 25) = 20

2. Рассчитаем величину критерия Гурвица при заданных значениях коэффициента оптимизма:

ЛПР-оптимист (λ=0.8):

H1(0.8) = λ x1max + (1 — λ) x1min = 0.8×50 + (1 — 0.8)×25 = 45

H2(0.8) = λ x2max + (1 — λ) x2min = 0.8×60 + (1 — 0.8)×20 = 52

ЛПР-пессимист (λ=0.3):

H1(0.3) = λ x1max + (1- λ) x1min = 0.3×50 + (1 — 0.3)×25 = 32.5

H2(0.3) = λ x2max + (1- λ) x2min = 0.3×60 + (1 — 0.3)×20 = 32

3. Сравним полученные величины. Оптимальными для каждого ЛПР будут альтернативы с максимальным значением критерия Гурвица:

ЛПР-оптимист (λ = 0.8):

45 < 52 => H1(0.8) < H2(0.8) => X* = X2

ЛПР-пессимист (λ = 0.3):

32.5 < 32 => H1(0.3) > H2(0.3) => X* = X1

Как мы видим, выбор оптимальной альтернативы в одних и тех же условиях существенным образом зависит от отношения ЛПР к риску.

Если для пессимиста оба проекта примерно равноценны, то оптимист, который надеется на лучшее, выберет второй проект. Его высокая наилучшая прибыль (60) при больших значениях коэффициента λ значительно повышает ценность данного проекта по критерию Гурвица.

Недостатком обычного критерия Гурвица является его "нечувствительность" к распределению исходов между крайними значениями. Это может приводить к неправильным решениям. Например, альтернатива А{100; 150; 200; 1000} по критерию Гурвица с "оптимистичным" коэффициентом λ = 0.7 лучше альтернативы В{100; 750; 850; 950}, так как:

HА (0.7) = 0.7×1000 + (1 — 0.7)×100 = 730

HВ (0.7) = 0.7×950 + (1 — 0.7)× 100 = 695

Однако, если посмотреть внимательнее на возможности, которые предоставляет В, то становится заметно, что она выгоднее. Ее "внутренние" исходы (750 и 850) существенно лучше, чем у А (150 и 200), а максимальный выигрыш лишь немногим хуже (950 против 1000). В реальной жизни логичнее было бы выбрать В.

⇐ Предыдущая1234

Дата добавления: 2017-12-14; просмотров: 108; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных |

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Критерий Гурвица.

Линейная система, характеристический полином которой равен

,

где a0>0, устойчива, если положительны n главных определителей матрицы Гурвица:

(5.8)

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. На главной диагонали записываются все коэффициенты, начиная с первого. Далее заполняются строки: четными коэффициентами по порядку, если на главной диагонали стоит четный коэффициент, и нечетными, если на главной диагонали стоит нечетный коэффициент. Если какой-либо коэффициент отсутствует, то вместо него заносится нуль.

Для оценки устойчивости системы необходимо вычислить определители Гурвица Di (i = 1, 2, … , n), которые получают из матрицы (5.8) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.

Система устойчива, если Di > 0 для всех i = 1, 2, … , n.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен

Dn = an´ Dn-1.

Поэтому его положительность сводится при Dn-1>0 к условию an>0,

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai.

Если определитель Dn=0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая: апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе; колебательная граница устойчивости, если определитель Dn-1=0. Из условия Dn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде: . Исследовать устойчивость системы.

Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы

D(p)=0, где .

Откуда следует

.

Раскрыв скобки, получим

T1T2p3 + (T1 + T2)p2 + p + k = 0.

Тогда имеем: a0 = T1 T2 ; a1 = (T1 + T2); a2 = 1; a3 = k.

Коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Составляем матрицу Гурвица

и найдем определители этой матрицы. Для устойчивости системы все они должны быть положительными:

D1 = a1, откуда (T1 + T2) > 0;

D2 = a1´a2 — a0 ´a3, откуда (T1 + T2) — kT1T2 > 0;

D3 = a1´a2´a3 — a0´a32 = a3( a1´a2 — a0´a3 ), откуда a3 >0 , то есть k > 0.

Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид

(T1 + T2) > kT1T2 или k < ( + ).

Границы устойчивости:

1) an = 0, k = 0;

2) Dn-1 = 0, kгр = ( + );

3) a0 = 0, T1T2 = 0.

Эти три границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметров k, T1, T2 и найти области устойчивости системы.

Найдем сначала область устойчивости системы по одному параметру k (общий коэффициент передачи разомкнутой системы). Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости — точки на ней: k = 0 и k = kгр (рис.5.6). Область устойчивости лежит между этими точками.

Рис.

Критерий устойчивости Гурвица

5.6. Область устойчивости по одному параметру

Те же границы устойчивости системы можно построить на плоскости двух параметров, например: k и T1 (рис.5.7). Первая граница k = 0 лежит на оси T1. Вторая граница = k — имеет вид гиперболы с асимптотами k = 0 и k = . Третья граница T1 = 0 совпадает с осью k. Штриховка границ сделана в сторону области устойчивости.

Рис. 5.7. Область устойчивости по двум параметрам

Как видно, при увеличении постоянных времени T1 и T2 область устойчивости сужается. Отрицательно влияет на устойчивость также и увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой системы k. При любых заданных T1 и T2 существует свое граничное значение общего коэффициента передачи kгр, после чего система становится неустойчивой.

Далее можно построить область устойчивости и в пространстве трех параметров k, T1, T2. Границами устойчивости здесь будут являться три координатные плоскости и криволинейная поверхность, сечениями которой как в вертикальных так и в горизонтальных плоскостях будут гиперболы.

Предыдущая14151617181920212223242526272829Следующая

Дата добавления: 2015-06-01; просмотров: 749;

ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком — необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть — передаточная функция системы, а — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде

Из коэффициентов характеристического уравнения строится матрица Гурвица по следующему алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Матрица Гурвица (таблица Гурвица) будет иметь следующий вид:

Далее в соответствии салгебраическим критерием устойчивости Гурвица выделяются главные диагональные миноры вида:

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все главных диагональных миноров матрицы Гурвица были бы одного знака с коэффициентами матрицы Гурвица.(т.е. при все главные диагональные миноры матрицы Гурвица должны быть положительными)

Эти главные диагональные миноры называются определителями Гурвица.

Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность.

2.11.Критерий Гурвица

Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара-Шипара. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.

См. также

Система находится на границе апериодической устойчивости, если . Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.

Литература

Четаев Н.Г. Устойчивость движения.— Москва: Наука, 1965.—234 с.

Категории: Все | Линейные САУ | Система автоматического управления | Устойчивость САУ

Глава 2. Принятие решений в условиях неопределенности

2.11.Критерий Гурвица

Обычный (или простой) критерий Гурвица учитывает только крайние исходы ximax и xi min каждой альтернативы:

xi max= max(xij), xi min= min(xij), j = 1..M

Он позволяет учесть субъективное отношение применяющего данный критерий ЛПР за счет придания этим исходам разных "весов". Для этого в расчет критерия введен "коэффициент оптимизма"λ, 0 ≤ λ ≤ 1. Формула для расчета критерия Гурвица для i-й альтернативы с коэффициентом оптимизма λ выглядит следующим образом:

Hi (λ) = λ xi max + (1 — λ) xi min

Если исходы представляют возможные выигрыши, то оптимальной признается альтернатива с максимальным значением критерия Гурвица:

Х* = Хk , Hk(λ) = max(Hi (λ)), i = 1..N

Как видно из формулы, правильный выбор коэффициента оптимизма λ оказывает существенное влияние на результат применения критерия. Остановимся подробнее на логике подбора λ.

Если ЛПР настроен пессимистически, то для него важнее меньше потерять при плохом развитии событий, пусть даже это означает не такой большой выигрыш при удачном состоянии. Значит, удельный вес наихудшего исхода ximin в оценке альтернативы должен быть выше, чем для ximах. Это обеспечивается, когда λ находится в пределах от 0 до 0.5, исключая последнее значение.

При λ=0 критерий Гурвица "вырождается" в критерий Вальда и подходит только для очень пессимистично настроенных ЛПР.

Оптимистичный ЛПР, напротив, ориентируется на лучшие исходы, так как для него важнее больше выиграть, а не меньше проиграть. Больший удельный вес в оценке наилучшего исхода достигается при λ больше 0.5 и до 1 включительно. При λ=1 критерий Гурвица становится критерием "максимакса", который учитывает исключительно наибольший исход каждой альтернативы.

Если у ЛПР нет ярко выраженного уклона ни в сторону пессимизма, ни оптимизма, коэффициент λ принимается равным 0.5.

Пример применения критерия Гурвица

В условиях задачи из п.2.7 (табл.2.2) рассмотрим принятие решения по критерию Гурвица для ЛПР, настроенного оптимистически (λ = 0.8), и ЛПР-пессимиста (λ = 0.3). Порядок действий таков:

1. Найдем максимальные xi max и минимальные xi min исходы для каждого проекта:

x1 max = max(45, 25, 50) = 50 x1 min = min(45, 25, 50) = 25

x2 max = max(20, 60, 25) = 60 x2 min = min(20, 60, 25) = 20

2. Рассчитаем величину критерия Гурвица при заданных значениях коэффициента оптимизма:

ЛПР-оптимист (λ=0.8):

H1(0.8) = λ x1max + (1 — λ) x1min = 0.8×50 + (1 — 0.8)×25 = 45

H2(0.8) = λ x2max + (1 — λ) x2min = 0.8×60 + (1 — 0.8)×20 = 52

ЛПР-пессимист (λ=0.3):

H1(0.3) = λ x1max + (1- λ) x1min = 0.3×50 + (1 — 0.3)×25 = 32.5

H2(0.3) = λ x2max + (1- λ) x2min = 0.3×60 + (1 — 0.3)×20 = 32

3. Сравним полученные величины. Оптимальными для каждого ЛПР будут альтернативы с максимальным значением критерия Гурвица:

ЛПР-оптимист (λ = 0.8):

45 < 52 => H1(0.8) < H2(0.8) => X* = X2

ЛПР-пессимист (λ = 0.3):

32.5 < 32 => H1(0.3) > H2(0.3) => X* = X1

Как мы видим, выбор оптимальной альтернативы в одних и тех же условиях существенным образом зависит от отношения ЛПР к риску. Если для пессимиста оба проекта примерно равноценны, то оптимист, который надеется на лучшее, выберет второй проект.

Гурвица критерий

Его высокая наилучшая прибыль (60) при больших значениях коэффициента λ значительно повышает ценность данного проекта по критерию Гурвица.

Недостатком обычного критерия Гурвица является его "нечувствительность" к распределению исходов между крайними значениями. Это может приводить к неправильным решениям. Например, альтернатива А{100; 150; 200; 1000} по критерию Гурвица с "оптимистичным" коэффициентом λ = 0.7 лучше альтернативы В{100; 750; 850; 950}, так как:

HА (0.7) = 0.7×1000 + (1 — 0.7)×100 = 730

HВ (0.7) = 0.7×950 + (1 — 0.7)× 100 = 695

Однако, если посмотреть внимательнее на возможности, которые предоставляет В, то становится заметно, что она выгоднее. Ее "внутренние" исходы (750 и 850) существенно лучше, чем у А (150 и 200), а максимальный выигрыш лишь немногим хуже (950 против 1000). В реальной жизни логичнее было бы выбрать В.

Наверх

Дата обновления: 25.09.2014

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *