On

Близится к гиперболе

Posted by admin

Ответы
на кроссворды
и сканворды

Близится к гиперболе — слово из 9 букв

Во-первых, слово асимптота состояит из букв: первая А, вторая С, третья И, четвертая М, пятая П, шестая Т, седьмая О, восьмая Т, девятая А.
Во-вторых, обязательно используйте нашу форму по поиску ответов на сканворды и кроссворды

Определения из сканвордов слова АСИМПТОТА

  • Прямая из прикладной математики
  • прямая, к которой неограниченно приближаются точки некоторой кривой по мере того, как эти точки удаляются в бесконечность
  • близится к гиперболе
  • геометрический термин
  • ж. геометр. прямая черта, вечно близящаяся к кривой (гиперболе), но никогда с нею не сходящаяся. Пример, для объяснения этого: если какое-либо число все делить пополам, то оно будет умаляться до бесконечности, но никогда не сделается нулем
  • предел графика функции
  • предельная кривая
  • прямая, к которой напрасно стремится кривая
  • прямая, к которой неограниченно приближаются точки кривой

Определение 1. Прямая называется Асимптотой линии L, Если точка по линии L, двигаясь к бесконечности, неограниченно приближается к данной прямой.

Теорема 1. Асимптотами гиперболы, заданной каноническим уравнением (3) из § 6, являются прямые .

Доказательство. В силу симметрии гиперболы относительно осей координат достаточно доказать теорему для прямой D: и точек гиперболы, лежащих в первой четверти, где она задается уравнением .

Рассмотрим произвольную прямую X=X1, которая пересекает эллипс в точке M(X1,y1), где , а прямую D в точке N(X1,y2), где .

Так как , то точка M лежит выше точки N. Пусть MP перпендикуляр, опущенный из точки M, на прямую D. Тогда имеем

.

Если X1 , то точка M стремится по гиперболе к бесконечности. При этом длина отрезка MP стремится к нулю, и прямая D является асимптотой.

Определение 2. Эксцентриситетом e гиперболы называется число, равное отношению его фокального расстоянию С к длине его действительной полуоси A: .

Из определения гиперболы следует, что e > 1. Для окружности эксцентриситет равен нулю.

Так как , то . Из этого соотношения получаем, что чем ближе e к 1, тем меньше отношение B/A, и тем меньше угол между осью OXИ асимптотами, чем больше e, тем больше отношение B/A, и тем больше между осью OXИ асимптотами.

Определение 3. Гипербола называется Равносторонней, если у нее действительная и мнимая полуоси равны, т. е. A = B.

Покажем, что обычная школьная гипербола, которая является графиком функции , является равносторонней. Запишем его в виде Xy = K и повернем систему координат OXy на угол по формулам:

Получим ее уравнение в новой системе координат OX¢Y¢

Или

.

Таким образом, график обратной пропорциональности равнобочная гипербола.

Замечание 1. С помощью циркуля и линейки можно построить сколь угодно много точек на гиперболе.

Близится к гиперболе — слово из 9 букв

Пусть действительная ось гиперболы A1A2, фокусы гиперболы F1, F2. Для этого произвольным радиусом R начертим окружность с центром в точке F2, и радиусом R + 2A с центром в точке F1. Точки пересечения окружностей лежат на гиперболе (см. рис. 24).

Разбираемся с магией гиперболы

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Приветствую вас на очередной лекции по магии функций и интегралов.

Сегодня мы поговорим о гиперболе. Начнём от простого. Самый простой вид гиперболы:

(1)

Эта функция, в отличии от прямой в её стандарных видах, имеет особенность. Как мы знаем, знаменатель дроби не может равняться нулю, потому что на ноль делить нельзя.
x ≠ 0
Отсюда делаем вывод, что областью определения является вся числовая прямая, кроме точки 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Если х стремится к 0 справа (записывается вот так: х->0+), т.е. становится очень-очень маленьким, но при этом остаётся положительным, то у становится очень-очень большим положительным (y->+∞).
Если же х стремится к 0 слева (x->0-), т.е. становится по модулю тоже очень-очень маленьким, но остаётся при этом отрицательным, то у также будет отрицательным, но по модулю будет очень большим (y->-∞).
Если же х стремится в плюс бесконечность (x->+∞), т.е. становится очень большим положительным числом, то у будет становиться всё более и более меньшим положительным числом, т.е. будет стремиться к 0, оставаясь всё время положительным (y->0+).
Если же х стремится в минус бесконечность (x->-∞), т.е. становится большим по модулю, но отрицательным числом, то у будет тоже отрицательным всегда числом, но маленьким по модулю (y->0-).

В этом месяце Марс максимально приблизится к Земле: что это означает

у, как и х, не может принимать значения 0. Он только к нулю стремится. Поэтому множество значений такое же, как и область определения: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Исходя из этих рассуждений, можно схематически нарисовать график функции

Видно, что гипербола состоит из двух частей: одна находится в 1-м координатном углу, где значения х и у положительные, а вторая часть — в третьем координатном углу, где значения х и у отрицательные.
Если двигаться от -∞ к +∞, то мы видим, что функция наша убывает от 0 до -∞, потом происходит резкий скачок (от -∞ до +∞) и начинается вторая ветка функции, которая тоже убывает, но от +∞ до 0. То есть, эта гипербола убывающая.

Если совсем чуть-чуть изменить функцию: воспользоваться магией минуса,

   (1′)

то функция чудесным образом переместится из 1 и 3 координатных четвертей во 2-ю и 4-ю четверти и станет возрастающей.

Напомню, что функция является возрастающей, если для двух значений х1 и х2,таких, что х1<х2, значения функции находятся в том же отношении f(х1) < f(х2).
И функция будет убывающей, если f(х1) > f(х2) для тех же значений х.

Ветви гиперболы приближаются к осям, но никогда их не пересекают. Такие линии, к которым приближается график функции, но никогда их не пересекает, называются ассимптотой данной функции.
Для нашей функции (1) ассимптотами являются прямые х=0 (ось OY, вертикальная ассимптота) и у=0 (ось OX, горизонтальная ассимптота).

А теперь давайте немного усложним простейшую гиперболу и посмотрим, что произойдёт с графиком функции.

   (2)

Всего-то добавили константу "а" в знаменатель. Добавление какого-то числа в знаменатель в качестве слагаемого к х означает перенос всей "гиперболической конструкции" (вместе с вертикальной ассимптотой) на (-a) позиций вправо, если а — отрицательное число, и на (-а) позиций влево, если а — положительное число.

     

На левом графике к х добавляется отрицательная константа (а<0, значит, -a>0), что вызывает перенос графика вправо, а на правом графике — положительная константа (a>0), благодаря которой график переносится влево.

А какая магия может повлиять на перенос "гиперболической конструкции" вверх или вниз? Добавление константы-слагаемой к дроби.

   (3)

Вот теперь вся наша функция (обе веточки и горизонтальная ассимптота) поднимется на b позиций вверх, если b — положительное число, и опустится на b позиций вниз, если b — отрицательное число.

     

Обратите внимание, что ассимптоты передвигаются вместе с гиперболой, т.е. гиперболу (обе её ветки) и обе её ассимптоты надо обязательно рассматривать как неразрывную конструкцию, которая едино передвигается влево, вправо, вверх или вниз. Очень приятное ощущение, когда одним добавлением какого-то числа можно заставлять функцию целиком двигаться в любую сторону. Чем не магия, овладеть которой можно очень легко и направлять её по своему усмотрению в нужную сторону?
Кстати, так управлять можно движением любой функции. На следующих уроках мы это умение будем закреплять.

Перед тем как задать вам домашнее задание, я хочу обратить ваше внимание ещё вот на такую функцию

   (4)

Нижняя веточка гиперболы перемещается из 3-го координатного угла вверх — во второй, в тот угол, где значение у положительное, т.е. эта веточка отражается симметрично относительно оси ОХ. И теперь мы получаем чётную функцию.

Что значит "чётная функция"? Функция называется чётной, если выполняется условие: f(-x)=f(x)
Функция называется нечётной, если выполняется условие: f(-x)=-f(x)
В нашем случае

   (5)

Всякая чётная функция симметрична относительно оси OY, т.е. пергамент с рисунком графика можно сложить по оси OY, и две части графика точно совпадут друг с другом.

Как видим, эта функция тоже имеет две ассимптоты — горизонтальную и вертикальную. В отличие от рассмотренных выше функций, эта функция является на одной своей части возрастающей, на другой — убывающей.

Попробуем поруководить теперь этим графиком, прибавляя константы.

   (6)

Вспомним, что прибавление константы в качестве слагаемого к "х" вызывает перемещение всего графика (вместе с вертикальной ассимптотой) по горизонтали, вдоль горизонтальной ассимптоты (влево или вправо в зависимости от знака этой константы).


   (7)

А добавление константы b в качестве слагаемого к дроби вызывает перемещение графика вверх или вниз. Всё очень просто!

А теперь попробуйте сами поэкспериментировать с такой магией.

Домашнее задание 1.

Каждый берёт для своих экспериментов две функции: (3) и (7).
а=первой цифре вашего ЛД
b=второй цифре вашего ЛД
Попробуйте добраться до магии этих функций, начиная с простейшей гиперболы, как я это делала на уроке, и постепенно добавляя свои константы. Функцию (7) уже можете моделировать, исходя из конечного вида функции (3). Укажите области определения, множество значений, ассимптоты. Как ведут себя функции: убывают, возрастают. Чётные — нечётные. В общем, попробуйте провести такое же исследование, как было на уроке. Возможно, вы найдете что-то ещё, о чём я забыла рассказать.

Кстати, обе ветки самой простейшей гиперболы (1) симметричны относительно биссектрисы 2 и 4 координатных углов. А теперь представьте, что гипербола стала вращаться вокруг этой оси. Получим вот такую симпатичную фигуру, которой можно найти применение.

Задание 2. Где можно использовать данную фигуру? Попробуйте нарисовать фигуру вращения для функции (4) относительно её оси симметрии и порассуждайте, где такая фигура может найти применение.

Помните, как мы в конце прошлого урока получили прямую с выколотой точкой? И вот последнее задание 3.
Построить график вот такой функции:


   (8)

Коэффициенты a, b — такие же, как в задании 1.
с=третьей цифре вашего ЛД или a-b, если ваше ЛД двузначное.
Небольшая подсказка: сначала полученную после подстановки цифр дробь надо упростить, и затем вы получите обычную гиперболу, которую и надо построить, но в конце надо учесть область определения исходного выражения.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной

Карта сайта
(с) Чжоули
Последние изменения: 17.11.2015

Большая Советская ЭнциклопедияЗначение слова в словаре Большая Советская Энциклопедия
(от греч. asymptotos ≈ несовпадающий) кривой с бесконечной ветвью, прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Например, у гиперболы у = 1/х ( рис. 1 ) асимптотами являются оси координат Ox и Оу. Кривая может пересекать свою А. (например, график…

ВикипедияЗначение слова в словаре Википедия
Асимптота кривой с бесконечной ветвью — прямая , к которой эта ветвь неограниченно приближается . Asymptote — язык описания векторной графики, дополняющий функциональность LaTeX

Толковый словарь живого великорусского языка, Даль ВладимирЗначение слова в словаре Толковый словарь живого великорусского языка, Даль Владимир
ж.

Как гипербола постоянно приближается к оси x или y, но никогда не достигнет ее?

геометр. прямая черта, вечно близящаяся к кривой (гиперболе), но никогда с нею не сходящаяся. Пример, для объяснения этого: если какое-либо число все делить пополам, то оно будет умаляться до бесконечности, но никогда не сделается нулем.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между и ).

Точки и называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно . Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов и обозначим через . По условию, .

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:

(7.6)

где ‑ координаты произвольной точки гиперболы, .

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми и .

Так как в уравнение входят только четные степени и , то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем: .

График этой функции от точки уходит неограниченно вправо и вверх (Рис.

Близится к гиперболе, cлова из 9 букв

7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

(7.7)

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты .

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны и параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Рис 7.8.

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки и пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы. Величины и называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси . На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями .

Рис. 7.9

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами:

Для правой — ветви ,

Для левой — ветви .

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .

Предыдущая24252627282930313233343536373839Следующая

Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 383;

ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Скачать PDF

Обратная пропорциональность-это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).

или

где k-любое число,k≠0.

Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и ваши деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е.

Близится к гиперболе

чем больше вы купите тетрадей, тем меньше денег у вас останется.

Графиком функции является гипербола.

График функции при k>0

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения и Yположительные, а вторая часть – в III четверти, где значения и Yотрицательные.

y(x)>0, при x∈(0;+∞)

y(x)<0, при x∈(0;+∞)

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция убывает. => Функция , где K>0, убывает.

График функции при k<0

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится во 2 четверти, где значения Xотрицательные, а значения Yположительные, а вторая часть – в 4 четверти, где значения Xположительные, а значения Yотрицательные.

Функция принимает положительное значение на промежутке (-∞;0),

Функция принимает отрицательные значения на промежутке (0;+∞).

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. => Функция , где K<0, Возрастает.

Свойства функции:

1)Область определения функции:

D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).

2)Область значения функции:

E(f)=(-∞;0)(0;+∞).

3)Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет.

4)   — нечетная функция (т.к. ).

График симметричен относительно начала координат (0;0).

5) Функция не ограничена.

6)Функция не пересекает координатные оси (oX и oY).

Перемещение гиперболы

Если добавить константу а (где любое число)в знаменатель, в качестве слагаемого к  X, то произойдет перемещение гиперболы по оси оX (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет:

Если у а стоит знак "+" (), то график функции передвигается по оси oX влево.

Для примера возьмем уравнение 

Гипербола смещена на 2 влево.

Если у а стоит знак "–" (), то график функции передвигается по оси oX вправо.

Для примера возьмем уравнение 

Гипербола смещена на 2 вправо.

Если добавить константу (где любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

 

В таком случае уравнением функции станет: 

Если у стоит знак "+" (), то график функции передвигается по оси oY вверх.

Для примера возьмем уравнение 

 

Если у стоит знак "-" (), то график функции передвигается по оси oY вниз.

Для примера возьмем уравнение 

Гипербола смещена на 2 вниз.

Сужение и расширение графика относительно начала координат.

От коэффициента зависит, как будут вести себя ветви гиперболы, относительно начала координат.

Например, сравним  и .

Мы видим, что график функции  значительно уже графика функции   =>Чем больше коэффициент K , тем больше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.

 

 

Сравним  и .

Мы видим, что график функции  значительно уже графика функции   =>Чем меньше коэффициент K , тем меньше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.

Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Вернутся к темам

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *